高数三重积分的问题我觉得球面坐标简单点,但是不知道怎么确定r的范围?

网友回答

根据球坐标的坐标变换公式z=rcosφ,过原点做一射线,可知该射线由r=0穿人Ω,再由z=1即rcosφ=1穿出,故r积分限为0到1/cosφ
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
Omega是一个锥体，待求问题表示的是该锥体体积的3/4/Pi倍。易知Omega是一个底面半径为r=1，侧楞长也为1的圆锥，故其高为h=sqrt{3}/2，体积为
Pi/3*r^2*h=Pi/sqrt{3}/2.
故答案为1/sqrt{3}/2*3/4=sqrt{3}/8.
供参考答案2:
用球坐标积分项变为ρ^3
然后画个图可见z的范围是
根号(x^2+y^2)代入球坐标0所以000所以原积分=∫∫∫ ρ^3*ρ^2 dρ dθ sinΦdΦ
=2π∫∫ ρ^3*ρ^2 dρ sinΦdΦ
=(2π/6)∫sinΦ/(cosΦ)^6 dΦ
令t=cosΦ
=(π/3)∫ -dt/t^6
=(π/15)t^(-5)|
=(π/15)(2^(5/2)-1)