幂级数收敛的问题,如图这是我自己做的是错的在第三行用了ln(x+1) - x 的等价无穷小

网友回答

就是等价无穷小代换的问题.
x → 0时,ln(1+x)与x是等价无穷小,但是你这里x = n-1 → +∞.
实际上n → ∞时ln(n)/n → 0 (可用洛必达法则证明).
算出来1-ln(n)/n → 1,因此本题不适用根值判别法.
可以证明n → ∞时n·(1-ln(n)/n)^n → 1:
取对数得n·ln(1-ln(n)/n)+ln(n)
= n·(-ln(n)/n+O(ln²(n)/n²))+ln(n) (x → 0时ln(1+x) = x+O(x²))
= O(ln²(n)/n)
= o(1) → 0,
再由e^x连续性即得n·(1-ln(n)/n)^n → 1.
于是级数通项与1/n是等价无穷小,根据比较判别法级数发散.