如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点B在y轴的正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕O点按顺时针方向旋转．（1）当点A第一次落到y轴正半轴

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解：（1）设旋转后C在C′、B在B′、A在A′，
∵边长为1的正方形OABC的顶点B在y轴的正半轴上，
∴BO平分∠AOC，即∠AOB=∠BOC=45°，BO=
S=S扇形OBB′+S△OC′B′-S△OCB-S扇形OCC′，
=S扇形OBB′-S扇形OCC′，
=-，
=；

（2）延长BA交直线y=-x于E点，
在Rt△AEO与Rt△CNO中，
∵直线y=-x与直线y=x垂直，
∴∠EON=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOE=∠CON，
即，
∴Rt△AEO≌Rt△CNO，
所以AE=CN，OE=ON．
又∠MOE=∠MON=45°，
所以△MOE≌△MON，
ME=MN．
所以：
l=MN+MB+BN，
=ME+MB+BN，
=BE+BN，
=BA+AE+BN，
=BA+CN+BN，
=AB+BC，
=2，
故△MBN的周长为定值2．

（3）当θ=22.5°时，△OMN的面积最小，
因为S△OMN=S△MOE=OA?ME=ME=MN，
设MN=m，AM=t．由（2）知，在Rt△MNB中，MN2=MB2+NB2，
因为??MN+MB+NB=2，
所以m2=（1-t）2+（2-m-1+t）2，
得：t2-mt+1-m=0，
因为△=m2-4（1-m）≥0，
所以（舍去）或，
所以S△OMN的最小值为：×（2-2）=．
此时△=0，
∴，
∴A为ME的中点．
又因为OA⊥ME，所以OA是∠MOE的平分线，所以θ=22.5°．
在Rt△MNB中，BM=1-t=2-，BN=2-MN-BM=2-，MN=2-2，
设Rt△BMN的内切圆半径为r，
所以??．
解析分析：（1）根据正方形的性质得出∠AOB=∠BOC=45°，BO=，再利用S=S扇形OBB′+S△OC′B′-S△OCB-S扇形OCC′=S扇形OBB′-S扇形OCC′求出即可；
（2）首先延长BA交直线y=-x于E点，Rt△AEO≌Rt△CNO，得出AE=CN，OE=ON，进而得出△MOE≌△MON，得出ME=MN，进而得出l的值不变；
（3）设MN=m，AM=t．由（2）知，在Rt△MNB中，MN2=MB2+NB2，利用 MN+MB+NB=2，得出m2=（1-t）2+（2-m-1+t）2，即可得出m的取值范围，即可得出，△OMN的面积最小值，再利用直角三角形内切圆半径求法得出