如图，在正方形ABCD中，以对角线AC为一边作一等边△ACE，连接ED并延长交AC于点F．（Ⅰ）求证：EF⊥AC；（Ⅱ）延长AD交CE于点G，试确定线段DG和线段DE

网友回答

（1）证明：由已知，得，
∴△AED≌△CED，
∴∠AED=∠CED，
又∵△AEC为等边三角形，
∴EF⊥AC；

（2）解法一：
过G作GM⊥EF，垂足为M，
由已知和（Ⅰ），得
∠AED=∠CED=30°，∠EAD=15°
∴∠EDG=45°，
∴MD=GM
设GM=x，则DG=
在Rt△MEG中，EG=2MG=2x，
∴EM=
∴ED=+x=（）x
∴
即DE=DG（或）

解法二：
过E作EM⊥AD，垂足为M
在Rt△MDE中，
∵∠EDM=∠MED=45°，
∴EM=DM
设EM=DM=x，
则DE=x
在Rt△AEF中，cot30°=，
∴DF=AF=
∴AD=
=
∵△CDG∽△AME，
∴
即
∴DG=
∴
即（或）．
解析分析：（1）可由SSS证得△AED≌△CED，得到∠AED=∠CED，根据等腰三角形的性质：顶角的平分线与底边上的高重合知，EF⊥AC；
（2）过G作GM⊥EF，垂足为M，则可证得△DMG为等腰直角三角形，△MGE为含30度角的直角三角形，进而设出参数，解△DMG和，△MGE这两个直角三角形，求得DG与DE的比．

点评：本题利用了等边三角形和等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．