有谁知道关于黎曼函数ζ（3）是无理数的证明,求解答：关于黎曼zeta函数的零点问题（不是黎曼猜想）

网友回答

现在介绍这个猜想的文章都涉及到复变函数，解析延拓和非平凡零点一下子就把没学过的挡在外面了，这里我要做的是争取让具有一点点高数知识的人就能明白。
　　
　　 首先出个智力题
　　
　　 ∑(1/n^2)[n:1->∞]=1+1/4+1/9+……+1/n^2+……=?
　　
　　 不要试图用初等方法计算，学过高数的都知道了，这个结果是π^2/6。
　　 结果很奇怪（其实很早以前数学家也感到奇怪）怎么和π搞到一起去啦？
　　 不理它，现在继续
　　
　　 ∑(1/n^4)[n:1->∞]=1+1/16+1/81+……+1/n^4+……=?
　　
　　 嗯，结果是π^4/90，
　　
　　 那么∑(1/n^6)[n:1->∞]是多少呢？π^6/945，好像有那么点规律，呵呵，实际上这个规律18世纪就得到了（有兴趣的可以回家做作练习，估计要练个一年半载的），就是
　　
　　 ∑(1/n^k)[n:1->∞，k:2，4，6，……]=-(2πi)^k B(k)/(2k!)
　　
　　 这是欧拉得到的最漂亮的结果之一（当然，他猜了好几年，证明了十几年）。但是又多出个i（就是i^2=-1那个），还有个B(k)。B(k)就是伯努利数，伯努利数没有一个通项公式，算起来也比较复杂，不过除了B(1)=-1/2,B(2k+1)都是0。前几位伯努利数是
　　 B0 = 1, B1 = -1/2, B2 = 1/6, B4 = -1/30, B6 =1/42, B8 = -1/30, B10 = 5/66, B12 =-691/2730, B14 = 7/6,B16 = -3617/510, B18 = 43867/798, B20 = -174611/330……
　　
　　 现在，我们把∑(1/n^k)[n:1->∞]表示为一个函数ζ(s)，
　　 我们有ζ(2)=π^2/6，ζ(4)=π^4/90，ζ(6)=π^6/945，ζ(k)=-(2πi)^k B(k)/(2k!)(k是偶数)
　　
　　 很自然的问题出来了，ζ(3)=？，ζ(5)=？，ζ(2k+1)=?
　　
　　 非常不幸，这个问题欧拉没搞清楚，现在也没人能够搞清楚。现在唯一知道的是ζ(3)是个无理数，而ζ(5)是有理数还是无理数都不清楚。有志者可以继续搞，呵呵。
　　
　　 但是这不是黎曼猜想。黎曼猜想却是由这个函数来的。现在我们把ζ(s)自变量变为复数。
　　
　　 定义 ζ(s)=∑1/n^s，n:正整数,1->∞，s是复数。
　　
　　 这就是著名的Zeta函数（前面那个希腊字母就读作Zeta）。这是一个级数，s要在整个复平面上跑，也就是说要取遍所有的复数。（当然，不知道当初为什么要研究这么个级数，反正越研究越复杂，越有乐趣，许多数论基本问题/代数基本问题/函数基本问题等等等等都和这个有关系）
　　
　　 现在解方程
　　
　　 ζ(s)=0。
　　
　　 首先我们知道，当这个s的实部大于一的时候，也就是Re(s)>1，ζ(s)绝对收敛，没有零点。
　　 其次现在我们知道，s是负偶数的时候，ζ(s)=0
　　 那么还有什么时候ζ(s)=0呢？黎曼说，
　　
　　 如果ζ(s)=0，并且0<=Re(s)<=1，那么Re(s)一定等于1/2。
　　
　　 这就是著名的黎曼猜想。参考资料：http://www.tianya.cn/techforum/Content/180/537025.shtml

网友回答

黎曼zeta函数是上面这个欧拉形式的解析延拓。
　　而上面这个欧拉形式只是当s为s>1的实数时的形式。
　　因此对于x=-2,-4等平凡零点，是不能套用上述公式的，而是套用解析延拓后的公式。