如图所示，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于E，交AB的延长线于点F，BF=4．（1）求证：△EFO∽△AFD，并求的值；（2

网友回答

解：（1）易知∠OEF=∠FAD=90°，而∠F=∠F，
故△EFO∽△AFD，
所以，
而EO=AO=AB=AD，即=；

（2）由△OEF∽△DAF，得===，
即AF=2EF，又EF2=FB?FA=BF?2EF，
∴EF=2BF=8，AF=2EF=16，
∴AB=AF-BF=12，
FO=AB+BF=10．
cos∠F==；

（3）由△BEF∽△EAF，得 ===，
设BE=k，则AE=2k，
由AE2+BE2=AB2，得
（2k）2+k2=122，
解得k=，
故BE=．
解析分析：（1）先证明△EFO∽△AFD，然后根据相似三角形的对应边成比例得到；（2）解答此题的关键是由△OEF∽△DAF得出AF=2EF，再根据此数值求出EF和FO，然后即可求出cos∠F；（3）由△BEF∽△EAF，设BE=k，则AE=2k，即可求得BE．

点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质以及锐角三角函数的定义等知识点．解题的关键在于根据已知条件找到相似三角形．