发布时间：2021-02-20 12:49:11
(1)求a的值;
(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
(3)如果对于所有x≥-2的x,都有f(x)≤kx+9≤g(x)成立,求k的取值范围.
解:(1)∵f′(x)=3ax2+6x-6a,
∴f′(-1)=0,即3a-6-6a=0.
∴a=-2.
(2)∵直线m恒过点(0,9),
先求直线m是y=g(x)的切线.
设切点为(x0,3+6x0+12),
∵g′(x0)=6x0+6,
∴切线方程为y-(3+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0).
将点(0,9)代入 得x0=±1.
当x0=-1时,切线方程为y=9;
当x0=1时,切线方程为y=12x+9.
由f′(x)=0得-6x2+6x+12=0,
即有x=-1,x=2.
当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18;
当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9.
∴y=9是公切线.
又由f′(x)=12得-6x2+6x+12=12.
∴x=0或x=1.
当x=0时y=f(x)的切线方程为y=12x-11;
当x=1时y=f(x)的切线方程为y=12x-10.
∴y=12x+9不是公切线.
综上所述,k=0时y=9是两曲线的公切线.
(3)①kx+9≤g(x)得kx≤3x2+6x+3,
当x=0时,不等式恒成立,k∈R.
当-2≤x＜0时,不等式为k≥3(x+)+6,
而3(x+)+6=-3［(-x)+］+6≤-3·2+6=0,
∴k≥0.
当x＞0时,不等式为k≤3(x+)+6.
∵3(x+)+6≥12,∴k≤12.
∴当x≥-2时,kx+9≤g(x)恒成立,则0≤k≤12.
②由f(x)≤kx+9得kx+9≥-2x3+3x2+12x-11.
当x=0时,9≥-11恒成立,k∈R;
当-2≤x＜0时,有k≤-2x2+3x+12-.
设h(x)=-2x2+3x+12-=-2(x-)2+-,
当-2≤x＜0时,-2(x-)2+为增函数,-也为增函数,
∴h(x)≥h(-2)=8.
∴要使f(x)≤kx+9在-2≤x＜0上恒成立,则k≤8.
由上述过程只要考虑0≤k≤8,则当x＞0时,f′(x)=-6x2+16x+12=-6(x+1)(x-2).
∴在x∈(0,2］时,f′(x)＞0,
在x∈(2,+∞)时,f′(x)＜0.
∴f(x)在x=2时有极大值,即f(x)在(0,+∞)上的最大值.
又f(2)=9,即f(x)≤9,
而当x＞0,k≥0时,kx+9＞9,
∴f(x)≤kx+9一定成立.
综上所述,0≤k≤8.