发布时间：2021-02-20 12:47:37
(1)求轨迹E的方程;
(2)若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.①无论直线l绕F2怎样转动,在x轴上总存在定点M(m,0),使MP⊥MQ恒成立.求实数m的值.②过P、Q作直线x=的垂线PA、QB,垂足分别为A、B,是否存在直线l,满足|PA|+|QB|=|AB|,若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)由|PF1|-|PF2|=2＜|F1F2|知,点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支,由c=2,2a=2,得b2=3.
轨迹E的方程为x2=1(x≥1).
(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2),
将l的方程与双曲线方程联立,消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,
解得k2＞3.①∵·=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2
=+m2,又MP⊥MQ,∴·=0,即3(1-m2)+k2(m2-4m-5)=0对任意的k2＞3恒成立.∴解得m=-1.当m=-1时,MP⊥MQ.
当直线l的斜率不存在时,由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知结论也成立.综上,当m=-1时,MP⊥MQ.
②∵∴x=是双曲线的右准线,假设存在直线l满足条件,且斜率为k.
由双曲线定义得|PA|=|PF2|=|PF2|,|QB|=|QF2|,
∴|PQ|=|AB||x2-x1|=|y2-y1|=|k(x2-x1)|.∴=|k|.
∴k=±1.又k2＞3,∴此时k不存在.当直线的斜率不存在时,|PQ|=|AB|,此时不满足题设.
故不存在满足题设条件的直线l.