已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是公比为2的等比数列．（1）证明：数列{an}成等比数列的充要条件是a1=3；（2）设bn=5n-（-1）nan（n∈N*）．若

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解：（1）因为数列是公比为2的等比数列，
所以，
即Sn+1=（a1+1）?4n-1．
因为所以
显然，当n≥2时，．
①充分性：当a1=3时，，所以对n∈N*，都有，即数列{an}是等比数列．
②必要性：因为{an}是等比数列，所以，即，解得a1=3．
（2）当n=1时，b1=5+a1；当n≥2时，bn=5n-（-1）n×3（a1+1）×4n-2（a1＞-1）．
①当n为偶数时，5n-3（a1+1）×4n-2＜5n+1+3（a1+1）×4n-1恒成立．
即15（a1+1）×4n-2＞-4×5n恒成立．故a1∈（-1，+∞）．
②当n为奇数时，b1＜b2且bn＜bn+1（n≥3）恒成立．
由b1＜b2知，5+a1＜25-3（a1+1），得．
由bn＜bn+1对n≥3的奇数恒成立，知5n+3（a1+1）×4n-2＜5n+1-3（a1+1）×4n-1恒成立，
即15（a1+1）×4n-2＜4×5n恒成立，所以恒成立．
因为当对n≥3的奇数时，的最小值为，所以．
又因为，故．
综上所述，bn＜bn+1对n∈N*恒成立时，．
解析分析：（1）由题设知Sn+1=（a1+1）?4n-1．．先证明充分性：当a1=3时，，所以对n∈N*，都有，即数列{an}是等比数列．再证明必要性：因为{an}是等比数列，所以，即，解得a1=3．（2）当n=1时，b1=5+a1；当n≥2时，bn=5n-（-1）n×3（a1+1）×4n-2（a1＞-1）．当n为偶数时，15（a1+1）×4n-2＞-4×5n恒成立．故a1∈（-1，+∞）．当n为奇数时，b1＜b2且bn＜bn+1（n≥3）恒成立．5+a1＜25-3（a1+1），得．由此入手能够得到a1的取值范围．

点评：本题考查等比数列的性质，解题时感受知识点的有效组合，注意积累解题方法．