0)上,且PF⊥FO,|PF|=2,O为原点若直线X-2Y=1与此抛物线相交于两点A,B,点N是抛物

网友回答

0)上,且PF⊥FO,|PF|=2,O为原点若直线X-2Y=1与此抛物线相交于两点A,B,点N是抛物线弧AOB上的动点,求三角形ABN面积的最大值(图1)
抛物线y²=2px的焦点为F(p/2, 0)
PF与x轴垂直, P的横坐标与F相同,代入y²=2px, P(p/2,±p)
 |PF| = 2, |p| = 2
p = ±2 
y² = 4x (p = -2 < 0, 舍去)
与x - 2y = 1 (x - 2y - 1=0)联立,得A(9+4√5, 4+2√5), B(9-4√5, 4 - 2√5)
|AB| = √[(8√5)² + (4√5)²] = 20
显然N是与x - 2y = 1 (y = x/2 - 1/2)平行的抛物线的切线的切点, 切线斜率为1/2
设切线: y = x/2 + c
与抛物线联立: y² -8y + 8c = 0
∆ = 64-32c = 0
c = 2
y = 4, x = 4
N(4, 4)
切线: x - 2y + 4 = 0
AB上的高h = |4 - 2*4 -1|/√(1²+2²) = √5
S = (1/2)*|AB|*h = (1/2)*20*√5 =10√5