如图，已知△ABC与△ACD都是边长为2的等边三角形，如图有一个60°角的三角板绕着点A旋转分别交BC、CD于点P、Q两点（不与端点重合）．（1）试说明：△PAQ是等

网友回答

（1）证明：∵△ABC与△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°，
∴∠BAP+∠CAP=60°，
又∵∠CAQ+∠CAP=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（ASA），
∴AP=AQ，
又∵∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等边三角形；

（2）解：∵△ABP≌△ACQ，
∴△ABP的面积=△ACQ的面积，
∴四边形APCQ的面积=△APC的面积+△ACQ的面积，
=△APC的面积+△ABP的面积，
=△ABC的面积，
=×2×（2×）=；

（3）解：AP⊥BC时，AP最短，S△APQ最小，
此时，BP=BC=×2=1．
解析分析：（1）根据等边三角形的性质求出AB=AC，∠B=∠ACD=60°，再求出∠BAP=∠CAQ，然后利用“角边角”证明△ABP和△ACQ全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=AQ，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可；
（2）根据全等三角形的面积相等可得△ABP的面积=△ACQ的面积，然后求出四边形APCQ的面积=△ABC的面积，再求出等边△ABC的面积即可；
（3）根据垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，S△APQ最小，再根据等腰三角形三线合一的性质可得BP=BC．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，（1）根据两个角的和等于60°求出∠BAP=∠CAQ是证明三角形全等的关键，也是本题的突破口．