在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），且x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个实数根，点C为抛物线

网友回答

解：（1）由x2-2x-3=0，得x=-1或x=3．
∵x1＜x2，
∴x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）把A，B两点的坐标分别代入y=ax2+bx+2联立求解，
得．
∴此抛物线的解析式为．
∵当x=0时，y=2，
∴C（0，2）．
设AC的解析式为y=kx+n（k≠0），把A，C两点坐标分别代入y=kx+n，
联立求得k=2，n=2．
∴直线AC的解析式为y=2x+2；

（3）假设存在满足条件的点P，并设直线y=m与y轴的交点为F（0，m）
①当DE为腰时，分别过点D，E作DP1⊥x轴于P1，作EP2⊥x轴于P2，如图1，则△P1DE和△P2ED都是等腰直角三角形，
∴DE=DP1=FO=EP2=m．
∵AB=x2-x1=4，
又∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴，即．
解得．
∴点D的纵坐标是．
∵点D在直线AC上，
∴，
解得，
∴．
∴．
同理可求P2（1，0）．
②如图2，当DE为底边时，过DE的中点G作GP3⊥x轴于点P3
∵P3D=P3E，∠DP3E=90°，
∴DG=EG=GP3=m，
由△CDE∽△CAB，
得，即，
解得m=1．
同①方法求得，
∴DG=EG=GP3=1．
∴，
∴．
综上所述，满足条件的点P共有3个，
即．
如有其他解（证）法，请酌情给分．
解析分析：（1）由于抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），且x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个实数根，那么解方程x2-2x-3=0即可得到点A，B的坐标；
（2）首先把A，B两点的坐标分别代入y=ax2+bx+2可以得到关于a、b的方程组，解方程组即可求出a、b的值，同时可以得到c的值，最后利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（3）假设存在满足条件的点P，并设直线y=m与y轴的交点为F（0，m）．
①当DE为腰时，分别过点D，E作DP1⊥x轴于P1，作EP2⊥x轴于P2，如图1，则△P1DE和△P2ED都是等腰直角三角形，然后证明△CDE∽△CAB，接着利用相似三角形的性质求出m，然后求出点D的纵坐标，也就求出了P的坐标；
②如图2，当DE为底边时，过DE的中点G作GP3⊥x轴于点P3．同样的方法可以求出D的纵坐标，也就求出了P的坐标．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和相似三角形的性质与判定及待定系数法确定函数的解析式．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．