已知二次函数的图象经过点A(-3,6)、B(m,0)、C(3,0),并且m<3,D为抛物线的顶点.
(1)求b,c,m的值;
(2)设点P是线段OC上一点,点O是坐标原点,且满足∠PDC=∠BAC,求点P的坐标.
网友回答
解:(1)把A(-3,6)、C(3,0)代入解析式得,2c-6b=3①,2c+6b=-9②,
解由①②组成的方程组得,b=-1,c=-;
抛物线的解析式为:y=x2-x-,
令y=0,则x2-x-=0,解得,x1=3,x2=-1,而m<3,所以m=-1,
所以b=-1,c=-,m=-1;
(2)由B(-1,0),C(3,0),得对称轴为直线x=1,所以D点坐标为(1,-2),
∴sin∠PCD=
∴∠PCD=45°,
由A(-3,6)、C(3,0),得∠ACB=45°;
∵∠PDC=∠BAC,
∴△ABC∽△DPC,
∴BC?DC=AC?PC,
而BC=4,AC=6,DC=2,
∴PC=,则OP=3-=,
所以P点坐标为(,0).
解析分析:(1)把A(-3,6)、C(3,0)代入二次函数得,2c-6b=3①,2c+6b=-9②,解由①②组成的方程组得,b=-1,c=-;得到抛物线的解析式为:y=x2-x-,令y=0,则x2-x-=0,解得,x1=3,x2=-1,而m<3,所以m=-1,
(2)通过D点坐标为(1,-2),C(3,0),得到∠PCD=45°;由A(-3,6)、C(3,0),得∠ACB=45°;加上∠PDC=∠BAC,得到△ABC∽△DPC,则BC?DC=AC?PC,而BC=4,AC=6,DC=2,得到PC=,则OP=3-=,即可得到P点坐标.
点评:本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式.设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,通过解方程组确定a,b,c的值.也考查了点在图象上则点的坐标满足图象的解析式、抛物线与x轴的交点坐标以及顶点坐标、三角形相似的判定和性质.