已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=a（Sn-an+1）（a为常数，a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设，若数列{bn}的前n项和Sn中，S5

网友回答

解：（Ⅰ）s1=a（s1-a1+1），∴a1=a．…（1分）
当 n≥2时，由 Sn=a（Sn-an+1）可得，sn-1=a（sn-1-an-1+1）．
两式相减得：an=a an-1，…（3分）
由于a为常数，a＞0且a≠1，∴=a，…（4分）
即数列{an}是等比数列，∴an=a an-1=an．?…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知=|a|+1-n，
∴bn+1=|a|-n，bn+1-bn=-1，
即数列{bn}为以 a为首项，公差为-1的等差数列．?…（8分）
由题意数列{bn}为递减数列且S5为最大值，∴，…（10分）
即 ，又a＞0，解得4≤a≤5．…（14分）

解析分析：（Ⅰ）当 n≥2时，由 Sn=a（Sn-an+1）可得，sn-1=a（sn-1-an-1+1）．两式相减得：an=a an-1，即数列{an}是等比数列，且首项为a，公比为a，由此求得{an}的通项公式．（Ⅱ）化简数列{bn}=|a|+1-n，可得 bn+1-bn=-1，即数列{bn}为以 a为首项，公差为-1的等差数列．由 ，解不等式求得a的取值范围．

点评：本题主要考查等比关系、等差关系的确定，数列的函数特性，属于中档题．