如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A的半径为3，A点的坐标为（2，0），C、E分别是⊙A与y轴、x轴的交点，过C点作⊙A的切线BC交x轴于点B．（1）求直线BC的解析

网友回答

解：（1）连接AC，由直线BC为圆A的切线，得到CA⊥CB，
又∵⊙A的半径为3，
∴AC=3，
又∵A点的坐标为（2，0），即OA=2，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OC==，
∴点C坐标为（0，），
又∠OCB+∠OCA=90°，∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠OCB=∠OAC，又∠COB=∠AOC=90°，
∴△BOC∽△COA，
∴=，又OC=，OA=2，
∴BO=，即B（-，0），
设直线BC的方程为y=kx+b，
把B和C的坐标代入得：，
解得：k=，b=，
则直线BC的方程为y=x+；

（2）抛物线y=ax2+bx+c经过B、A两点，且顶点在直线BC上，
∵A（2，0），B（-，0），
∴=-，
∴对称轴为直线x=-，即顶点横坐标为-，
把x=-代入y=x+得：y=，
则此抛物线的顶点的坐标为（-，）；

（3）x轴上存在一点P，使△PCE和△CBE相似，理由如下：
∵AE=3，OA=2，
∴OE=1，
在Rt△OCE中，根据勾股定理得：CE==，
∵OB=，OE=1，
∴BE=1.5，
假设存在这样的点P，
当点P在点B左侧时，如图所示：

若△BCE∽△CPE，则有，
即=，
解得：PE=4，
则点P的坐标为（-5，0）；
当点P在点B右侧时，要使△CBE∽△PCE，则有∠BEC=∠CEP，
∴∠BEC=∠CEP=90°，与题设矛盾，
∴不存在这样的P满足题意，
综上，满足题意的P点有1个，P的坐标为（-5，0）．
解析分析：（1）连接AC，由BC为圆A的切线，根据切线的性质得到CA与CB垂直，同时由半径为3，得到AC为3，由A的坐标得到OA的长，在直角三角形OAC中，利用勾股定理求出OC的长，确定出C的坐标，又CO与AB垂直，得到一对直角相等，再利用同角的余角相等，得到一对角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得三角形BOC与三角形COA相似，由相似得线段成比例，将OC，OA的长代入求出OB的长，确定出B的坐标，设出直线BC的方程为y=kx+b，将B和C的坐标代入，得出关于k与b的方程组，求出方程组的解集得到k与b的值，确定出直线BC的方程；
（2）抛物线y=ax2+bx+c经过B、A两点，且顶点在直线BC上，由A和B的坐标求出线段AB的中点坐标，即为抛物线顶点的横坐标，将求出的横坐标代入直线BC的解析式中求出对应y的值，即为顶点的纵坐标，进而确定出顶点的坐标；
（3）存在，理由为：假设在x轴上存在一点P，使△PCE和△CBE相似，可能有两种情况，当P在B的左侧时，根据题意画出图形，由AE为圆的半径，OA，利用AE-OA求出OE的长，在直角三角形COE中，由OC及OE的长，利用勾股定理求出EC的长，再由OB-OE求出BE的长，根据△PCE和△CBE相似得出比例式，将求出的BE及CE代入，求出PE的长，根据PE+OE=OP，求出OP的长，可得出此时P的坐标；当P在B的右侧时，由△PCE和△CBE相似，得到∠BEC=∠ECP，根据内错角相等两直线平行得到CP与x轴平行，即CP与x轴没有交点，此时P不存在，综上，得到满足题意的P的坐标．

点评：此题属于二次函数的综合题，涉及的知识有：切线的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，勾股定理，利用待定系数法求一次函数的解析式，利用了转化，分类讨论及数形结合的思想，是一道综合性较强的题．本题比较难，锻炼了学生综合分析问题，解决问题的能力．