已知f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对于定义域内任意的x1，x2都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1．（1）求证

网友回答

解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），
令x1=x2=1，代入上式解得f（1）=f（1）+f（1）∴f（1）=0
令x1=x2=-1，代入上式解得f（1）=f（-1）+f（-1）=0∴f（-1）=0，
令x1=-1，x2=x代入上式，∴f（-x）=f（-1?x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）设x2＞x1＞0，则=
∵x2＞x1＞0，∴，∴＞0，
即f（x2）-f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（2）=1
∴f（a+1）＞f（a）+1=f（a）+f（2）=f（2a）
∵f（x）是偶函数；
∴f（|x|）=f（-x）=f（x）则f（a+1）＞f（2a）即f（|a+1|）＞f（|2a|）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∴|a+1|＞|2a|
两边平方得a2+2a+1＞4a2
即3a2-2a-1＜0解得-＜a＜1

解析分析：（1）根据题意和式子的特点，先令x1=x2=1，求出f（1）=0，令x1=x2=-1求出f（-1）=0，再令x1=-1，x2=x求出f（-x）=f（x），则证出此函数为偶函数；
（2）先任取x2＞x1＞0，再代入所给的式子进行作差变形，利用x2=和且＞0，判断符号并得出结论；
（3）根据f（2）=1得f（a+1）＞f（a）+1=f（a）+f（2）=f（2a），然后根据偶函数f（x）得f（|a+1|）＞f（|2a|），最后根据f（x）在（0，+∞）上是增函数建立不等关系，解之即可．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数的奇偶性和单调性，同时考查了不等式的解法，属于中档题．