设抛物线的顶点为O,经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于B,C两点,经过抛物线上一点P且垂直于轴的直线与轴交于点Q,求证：|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项 原题是这样的!
网友回答
郭敦顒回答：
设抛物线为x²=2py,焦点坐标为F（0,p/2）,则y=x²/（2p）
BC⊥Y轴,且过焦点F,交抛物线于B、C,
当y=p/2时,x=±p,|BC|=|2p|,
点P是抛物线上任一点,PQ⊥Y轴于Q,| PQ |= |x|
|OQ|= |y|=| x²/（2p）|
若|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项,则有
|PQ|²=|BC|•|OQ|
∵| PQ |² = x²
|BC|=|2p|,|OQ|=| x²/（2p）|,∴|BC|•|OQ|= x²
∴|PQ|²=|BC|•|OQ|,
∴论断“|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项”成立.
在抛物线是其它标准方程的形式下,上述论断仍成立,证明方法类同,略.