顶点在底面上的投影既是底面三角形的内心又是外心的棱锥是正三棱锥.为什么是对的?解析上写由顶点在底面上

顶点在底面上的投影既是底面三角形的内心又是外心的棱锥是正三棱锥.为什么是对的?解析上写由顶点在底面上的投影是三角形的外心可知三棱锥的侧棱长相等,这个条件与证明此命题有必要吗?知道三角形内心和外心重合可推出为等边三角形,是怎么证明的?等边三角形内心和中心重合吗?为什么?