如图，点P是⊙O上任意一点，⊙O的弦AB所在的直线与⊙P相切于点C，PF为⊙O的直径，设⊙O与⊙P的半径分别为R和r．（1）求证：△PCB∽△PAF；（2）求证：PA

网友回答

（1）证明：∵AC切⊙P于C，PF为⊙O的直径，
∴∠PCB=∠PAF=90°，
又∵∠CBP=∠F，
∴△PCB∽△PAF．
　　
（2）证明：∵△PCB∽△PAF，
∴=，
∴PA?PB=PC?PF=2Rr；

（3）解：连接PD，过点P作PH⊥DE于H．
∵∠PCB=∠PHD=90°，∠CBP=∠F=∠HDP，
∴△CBP∽△HDP，
∴=．
∴PH?PB=PC?PD．
又∵PC=PD=r，
∴PH?PB=r2，
∴PH=．
∵PA=6，PB=3，
由（2）知PA?PB=2Rr，
∴r=，R=3．
∴PH===1．
∴DH==-1=，
∴DE=2．
解析分析：（1）根据切线的性质知∠PCB=90°、直径所对的圆周角∠PAF=90°，∠PBC=∠F，易得△PCB∽△PAF；（2）由（1）所得结论PA?PB=PC?PF即PA?PB=2Rr；（3）求⊙P的弦DE的长是一个较复杂的问题，可先作出弦DE的弦心距PH．通过解直角三角形来求．

点评：本题综合考查了相似三角形是判定与性质、圆内接四边形的性质及切线的性质．解第（1）、（2）问的解决运用了以下知识：切线的性质，圆周角定理的推论，圆的内接四边形的性质．由此可以看出在两圆的位置关系问题中，综合知识的运用是至关重要的；第（3）问求弦DE的长是一个较复杂的问题，但还是离不开前面的基本知识“弦和弦心距亲密紧相连”，由此可以看出解决问题的基本模式是相当重要的．