海伦公式的详细证明过程,海伦定理的证明（图文）

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海伦公式:三角形三边为a,b,c.
　　其面积S=根号 其中p=(a+b+c)/2。
　　答:分5步：
　　 （1）用余弦定理求出cosA,
　　 （2）利用cosA与sinA的平方关系，求出sinA,
　　 （3）S=(bc sinA)/2，平方后再化简,
　　 （4）对海伦公式反向分析:先平方，将p=（a+b+c)/2代入化简，
　　 （5）将（3）与（4）两步的结果比较即可.参考资料：http://www.101.net.cn/article/jcjf/jxtt/20060306012.html

网友回答

海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。
　　假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
　　S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
　　而公式里的s：
　　s=\frac{a+b+c}{2}
　　由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
　　[编辑]证明
　　与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为
　　\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
　　从而有
　　\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}
　　因此三角形的面积S为
　　S = \frac{1}{2}ab \sin(C)
　　= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
　　= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
　　最后的等号部分可用因式分解予以导出