如图平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+x+2交x轴于A、B两点，交y轴于点C．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）直线x=m（0＜m＜4）在线段OB上移动，交x

网友回答

（1）证明：对于y=-x2+x+2
当y=0时，-x2+x+2=0，解得x1=-1，x2=4；
当x=0时，y=2
∴A、B、C三点的坐标分别为
A（-1，0），B（4，0），C（0，2）
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∴AB=OA+OB=5，
∴AB2=25
在Rt△AOC中，AC2=OA2+OC2=12+22=5
在Rt△COB中，BC2=OC2+OB2=22+42=20
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形．

（2）解：∵直线DE的解析式为直线x=m，
∴OD=m，DE⊥OB．
∵OC⊥AB，
∴OC∥DE，
∴△BDF∽△BOC，
∴=
∵OC=2，OB=4，BD=OB-OD=4-m，
∴DF=．
当EF=DF时，DE=2DF=4-m，
∴E点的坐标为（m，4-m）
∵E点在抛物线y=-x2+x+2上，
∴4-m=-m2+m+2
解得m1=1，m2=4．
∵0＜m＜4，
∴m=4舍去，
∴当m=1时，EF=DF；

（3）解：小红同学的观点是错误的．
∵OD=m，DE⊥OB，E点在抛物线y=-x2+x+2上
∴E点的坐标可表示为（m，-m2+m+2）
∴DE=-m2+m+2．
∵DF=2-m，
∴EF=DE-DF=-m2+2m
∵S△BCE=S△CEF+S△BEF=EF?OD+EF?BD=EF?（OD+BD）
=EF?OB=EF?4=2EF
∴S△BCE=-m2+4m=-（m2-4m+4-4）=-（m-2）2+4
∴当m=2时，S△BCE有最大值，△BCE的最大面积为4；
∵当m=2时，-m2+m+2=3，
∴E点的坐标为（2，3）
而抛物线y=-x2+x+2的顶点坐标为（，），
∴小红同学的观点是错误的．
解析分析：（1）先根据抛物线的解析式求出A、B、C三点的坐标，那么可用两种方法进行求解．
①可分别求出AC、BC、AB的长，然后用勾股定理求证．
②可分别在直角三角形AOC和BOC中，用三角函数得出相关的锐角相等，然后通过证小直角三角形与△BAC相似来得出结论．
（2）本题由两种求法：
①可根据△BDF和△BOC相似，用m表示出DF的长，即可得出DE的长，也就得出了E点的坐标，然后将E点坐标代入抛物线的解析式中即可得出m的值．
②可先求出直线BC的解析式．由于DE=2DF，因此当x=m时，抛物线的值是直线BC的值的2倍，由此可得出关于m的方程，即可求出m的值．
（3）本题要先求出△BEC的面积与E点坐标的函数关系式，根据函数的性质来求解．可设出E点的坐标（设横坐标，用抛物线的解析式表示纵坐标）．然后根据△BCE的面积=梯形CODE的面积+△BDE的面积-△BOC的面积；来得出关于△BCE的面积与E点横坐标的函数关系式，然后根据函数的性质求出S的最大值和对应的E点的坐标．

点评：本题主要考查二次函数的应用、直角三角形的判定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．