解答题已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．（1）若函数f（x

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解：（1）∵函数f（x）过点（1，-2），∴f（-1）=-a+b-c=2，①
由f′（x）=3ax2+2bx+c，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y+2=0
∴，∴，②
由①和②解得，故f（x）=x3-3x；
（2）当a=1时，f（x）=x3+bx2+cx，∴f（1）=1+b+c，f（-1）=-1+b-c
可得：c=-1，b=∴f（2）=8+4b+2c=3f（1）+f（-1）+6
又由题意-2≤f（-1）≤1，-1≤f（1）≤3，∴-3≤3f（1）≤9，
故1≤3f（1）+f（-1）+6≤16，
即1≤f（2）≤16．
（3）∵f′（x）=3ax2+2bx+c，则，可得6a=f′（-1）+f′（1）-2f′（0）
∵当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，∴|f′（-1）|≤1，|f′（0）|≤1，|f′（1）|≤1
∴6|a|=|f′（-1）+f′（1）-2f′（0）|≤|f′（-1）+f′（1）+2f′（0）|≤4
∴a，故a的最大值，
当a=时，，解得，
∴a取得最大值时f（x）=x3-x．解析分析：（1）由题意可得f（-1）=-a+b-c=2，①，即②，由①②可解得得a、b、c的值，可写解析式；（2）由f（1）=1+b+c，f（-1）=-1+b-c可知f（2）=8+4b+2c=3f（1）+f（-1）+6，求得-2≤f（-1）≤1，-1≤f（1）≤3整体利用可求f（2）的范围；（3）?x∈[-1，1]，都有|f′（x）|≤1，可知|f′（-1）|≤1，|f′（0）|≤1，|f′（1）|≤1，及6a=f′（-1）+f′（1）-2f′（0）可求a的最大值，由此可解bc的值，即得