对关于x的一次函数和二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）．（1）当c＜0时，求函数s=-2|ax2+bx+c|+2013的最大值；（2）若直线和抛物线y=ax2+b

网友回答

解：（1）设y1=ax2+bx+c，
∵a＞0，c＜0，
∴△=b2-4ac＞0，
∴y1=ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴|ax2+bx+c|的最小值为0，
∴y=-2|ax2+bx+c|+2013的最大值是2013．

（2）∵直线y=kx-k-k2与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点，
∴方程组只有一组解，
∴ax2+（b-k）x+k2+k+c=0有相等的实数解，
∴△=0，
∴（1-a）k2-2（2a+b）k+b2-4ac=0
∵对于k为任何实数，上式恒成立，
∴，
∴a=1，b=-2，c=1，
∴a3+b3+c3=1-8+1=-6．
解析分析：（1）首先设y1=ax2+bx+c，由a＞0，c＜0，可得△＞0，即可得|ax2+bx+c|≥0，继而求得函数y=-2|ax2+bx+c|+2013的最大值；
（2）由直线y=kx-k-k2与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点，可得ax2+（b-k）x+k2+k+c=0有相等的实数解，可得判别式△=0，又由不论k为任何实数，直线y=kx-k-k2与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点，即可得方程组，继而求得a，b，c的值，从而得到a3+b3+c3的值．

点评：此题考查了二次函数的性质、一元二次方程根的情况、判别式的知识以及方程组的解法等知识．此题综合性较强，难度较大，注意把函数交点问题转化成一元二次方程根的问题是解此题的关键．