如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC为弦作⊙O，交AC于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论：①∠BOD=90°；②DO∥

网友回答

C

解析分析：根据圆周角定理即可求出∠DOB=90°，判断①即可；根据切线性质得出∠OBA=90°，根据平行线的判定即可判断②；用反证法推出CE=BE，根据垂径定理得出OD⊥BC，根据三角形的内角和定理即可判定假设不成立，即可判断③；求出∠ODB的度数得出∠ODB=∠C，再加上∠CBD=∠CBD，根据相似三角形的判定即可推出④，过E作EM⊥BD于M，设DM=EM=a，由勾股定理求出DE=a，BE=2EM=2a，代入求出即可．

解答：∵∠ACB=45°，∴由圆周角定理得：∠BOD=2∠ACB=90°，∴①正确；∵AB切⊙O于B，∴∠ABO=90°，∴∠DOB+∠ABO=180°，∴DO∥AB，∴②正确；假如CD=AD，因为DO∥AB，所以CE=BE，根据垂径定理得：OD⊥BC，则∠OEB=90°，∵已证出∠DOB=90°，∴此时△OEB不存在，∴③错误；∵∠DOB=90°，OD=OB，∴∠ODB=∠OBD=45°=∠ACB，即∠ODB=∠C，∵∠DBE=∠CBD，∴△BDE∽△BCD，∴④正确；过E作EM⊥BD于M，则∠EMD=90°，∵∠ODB=45°，∴∠DEM=45°=∠EDM，∴DM=EM，设DM=EM=a，则由勾股定理得：DE=a，∵∠ABC=180°-∠C-∠A=75°，又∵∠OBA=90°，∠OBD=45°，∴∠OBC=15°，∴∠EBM=30°，在Rt△EMB中BE=2EM=2a，∴==，∴⑤正确；故选C．

点评：本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较好，但是一道难度偏大的题目．