发布时间：2021-02-19 16:16:40
(1)证明定义在R上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＜0)是凸函数;
(2)对于(1)中的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＜0),若|f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3,求|f(4)|取得最大值时函数y=f(x)的解析式.
思路解析：本题是阅读理解题目,根据题意对凸函数的定义进行变形证明,在求函数解析式是要想办法用f(1)、f(2)和f(3)表示f(4),从而求出f(4)的最大值,这样把不等关系转化为相等关系求出待定系数.
证明：(1)任取x1,x2∈R,则
2f()-［f(x1)+f(x2)］
=2［a()2+b+c］-［ax12+bx1+c］-［ax22+bx2+c］
=［(x1+x2)2-2(x12+x22)］=-(x1-x2)2.
∵a＜0,
∴2f()-［f(x1)+f(x2)］≥0.
∴［f(x1)+f(x2)］≤f().
∴由定义得y=f(x)是R上的凸函数.
(2)∵
又∵|f(4)|=|16a+4b+c|=|f(1)-3f(2)+3f(3)|≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)|.
又∵|f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3.
∴|f(4)|≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)|≤16.
∴当且仅当时取等号,代入上式得
∴f(x)=-4x2+15x-12.