如图，△ABC的三条角平分线交于I点（∠ACB＞∠ABC），AI交BC于D，作IE⊥BC于E．下列结论：①∠CID+∠ABI=90°；②∠BID=∠CIE；③∠IBD

网友回答

B

解析分析：本题作为一个选择题出现比较简单，可不必对各选项进行逐一分析，只要用排除法便可解答．

解答：∵四个选项中①均存在，∴可不予考虑，①必然成立，②∵I为△ABC三条角平分线的交点，IE⊥BC于E，∴∠ABI=∠IBD，∵∠CID+∠ABI=90°，即∠CIE+∠DIE+∠IBD=90°，∵IE⊥BC于E，∴∠IBD+∠BID+∠DIE=90°，∴∠BID=∠CIE，即②成立；③∵∠BID=∠CIE，∠BID是△ABI的外角，∠CID是△AIC的外角，∴∠BID=∠BAI+∠ABI，∠CID=∠IAC+∠ACI，∵∠BID=∠CIE，∠BAI=∠IAC，∴∠DIE=∠ACI-∠ABI，若∠IBD=∠DIE成立，则∠ICE=2∠IBD，即（∠ACB=4∠ABC）．∴无法判定③是否成立；④∵∠BID=∠CIE，∠BID是△ABI的外角，∠CID是△AIC的外角，∴∠BID=∠BAI+∠ABI，∠CID=∠IAC+∠ACI，∵∠BID=∠CIE，∠BAI=∠IAC，∴∠DIE=∠ACI-∠ABI，故④成立．故成立的是①②④．故选B．

点评：此题比较复杂，但是作为选择题出现不必一一求证，解答此类题目的关键是要熟练掌握三角形内角与外角的关系，并且熟知用排除法解答选择题的技巧．