函数f（x）满足：①定义域是（0，+∞）?②当x＞1时，f（x）＜2；③对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2（1）求出f（1）的值；（2

网友回答

解：（1）由题意对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
令x=y=1，可得f（1）=2f（1）-2
∴f（1）=2??…
（2）f（x）在（0，+∞）单调递减
事实上，设0＜x1＜x2，则 ＞1，
∵x＞1时，f（x）＜2可得，f（）＜2，
∴f（x2）=f（×x1）=f（）+f（x1）＜2+f（x1）-2=f（x1），
∴f（x）在（0，+∞上单调递减??????????????????????????????…
（3）f（x）=2+logax，其中a可以取（0，1）内的任意一个实数；?????…
解析分析：（1）要求f（1），结合已知由题意对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2可考虑赋值，令x=y=1，可求f（1）．
（2）要证函数的单调性，需设0＜x1＜x2，则 ＞1，由已知x＞1时，f（x）＜2可得，f（）＜2，故构造 f（x2）=f（×x1）=f（）+f（x1）＜2+f（x1）-2=f（x1），从而可证．
（3）由任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2，类似对数的运算性质，联想对数函数．

点评：本题以抽象函数为载体，考查利用赋值求解函数值的问题，而函数的单调性的证明的最基本的方法是利用函数单调性的定义，解决此问题的关键是要根据题目中的条件进行合理的构造，以达到比较f（x1），f（x2）的大小的目的．