设函数，常数λ＞0．（1）若λ=1，判断f（x）在区间[1，4]上的单调性，并加以证明；（2）若f（x）在区间[1，4]上的单调递增，求λ的取值范围．

网友回答

解：（1）f（x）=x+，?x1，x2∈[1，4]且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1-x2）…
∵x1，x2∈[1，4]，x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2＞0，x1x2-1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x）在区间[1，4]上的单调递增．…
（2）?x1，x2∈[1，4]且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1-x2）…
∵f（x）在区间[1，4]上的单调递增
∴f（x1）-f（x2）＜0
∵1≤x1＜x2≤4，
∴x1x2-λ＞0对?x1，x2∈[1，4]且x1＜x2恒成立…
即λ＜x1x2
∴λ≤1
∵λ＞0
∴0＜λ≤1…
解析分析：（1）在区间[1，4]上任取两个值x1，x2∈[1，4]且x1＜x2，然后通过化简判定f（x1）-f（x2）的符号，最后根据单调性的定义进行判定即可；
（2）在区间[1，4]上任取两个值x1，x2∈[1，4]且x1＜x2，然后根据单调性得到f（x1）-f（x2）＜0恒成立，从而可求出所求．

点评：本题主要考查了函数的单调性的判定，以及函数根据单调性求参数范围，同时考查了计算能力，属于中档题．