如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，∠MEA=∠BEA．EM交CD于F，交AD的延长线于M，下列结论：①AM=EM；②AE2=2BE?EM；③EF=2MF．其中

网友回答

D
解析分析：由正方形的性质，∠MEA=∠BEA，易证得∠EAD=∠MEA，即可得AM=EM；
过点M作MN⊥AE于点N，易证得△MEN∽△AEB，然后由相似三角形的对应边成比例与等腰三角形的性质，易证得AE2=2BE?EM；
首先过点M作MK∥CD，交BC的延长线于点K，设DM=y，CE=BE=x，利用勾股定理，可得x=2y，然后由相似三角形的对应边成比例，可证得EF=2MF．

解答：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠EAD=∠BEA，
∵∠MEA=∠BEA，
∴∠EAD=∠MEA，
∴AM=EM；
故①正确；
过点M作MN⊥AE于点N，
∵AM=EM，
∴AN=EN=AE，
∴∠MNE=∠B=90°，
∵∠MEA=∠BEA，
∴△MEN∽△AEB，
∴，
∴EN?AE=BE?EM，
∴AE2=BE?EM，
即AE2=2BE?EM；
故②正确；
过点M作MK∥CD，交BC的延长线于点K，
在四边形DMKC是矩形，
∴MK=CD，CK=DM，
设DM=y，CE=BE=x，
则AD=CD=BC=2x，EM=AM=AD+DM=2x+y，EK=CE+CK=x+y，
∴MK=CD=2x，
在Rt△MEK中，MK2+EK2=EM2，
∴（2x）2+（x+y）2=（2x+y）2，
∴x=2y，
∴CE：DM=2，
∵AD∥BC，
∴△CEF∽△DMF，
∴EF：MF=CE：DM=2，
∴EF=2MF．
故③正确．
故选D．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．