我们容易发现:反比例函数的图象是一个中心对称图形.你可以利用这一结论解决问题.如图,在同一直角坐标系中,正比例函数的图象可以看作是:将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点B、D,已知点A(-m,0)、C(m,0).
(1)直接判断并填写:不论α取何值,四边形ABCD的形状一定是______;
(2)当点B为(p,1)时,四边形ABCD是矩形,直接写出p、α、和m的值;
(3)试探究:四边形ABCD能不能是菱形?若能,直接写出B点的坐标,若不能,说明理由.
网友回答
解:(1)∵反比例函数的图象是一个中心对称图形,点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点,
所以点B与点D关于点O成中心对称,则OB=OD,又OA=OC,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,
∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)∵点B(p,1)在的图象的图象上,
∴p=1,
过B作BE⊥x轴于E,则
在Rt△BOE中,
α=45°,
∴OB=.
又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点,
∴点B、D关于原点O成中心对称,
∴OB=OD=.
∵四边形ABCD为矩形,且A(-m,0),C(m,0)
∴OA=OB=OC=OD=,
∴m=;
(3)四边形ABCD不能是菱形.理由如下:
若四边形ABCD为菱形,则对角线AC⊥BD,且AC与BD互相平分,
因为点A、C的坐标分别为(-m,0)、(m,0),
所以点A、C关于原点O对称,且AC在x轴上,
所以BD应在y轴上,
这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾,
所以四边形ABCD不可能为菱形.
故