若向量α、β、γ线性无关而向量α+2β、2β+kγ,β+3γ线性相关则k=__

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因为α +2β 、2β +kγ , β+3γ 线性相关，所以存在不全为0的数k₁，k₂，k₃，使得

k₁(α +2β)+k₂(2β +kγ)+k₃( β+3γ)=0，即

k₁α+(2k₁+2k₂+k₃)β+(kk₂+3k₃)γ=0

因为α 、β 、γ线性无关，所以必有

k₁=0

2k₁+2k₂+k₃=0

kk₂+3k₃=0

即

2k₂+k₃=0

kk₂+3k₃=0

显然k₃≠0，否则k₂=0，而这与k₁，k₂，k₃不全为0矛盾。同理，k₂≠0。

则由此解得k=6。

事实上，上述二元齐次方程组有非零解，从而其行列式为0，得k=6。