用第二类换元积分法计算不定积分∫1/√1+x^2dx怎么换元

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用双曲函数代换  设x=sht,  则  √（1+x^2）=cht,  dx=cht,所以立得结果：

 ∫1/√1+x^2dx=∫(1/cht)chtdt= ∫dt=t+C =Arcshx+C =ln[x+√（1+x^2）]+C  

如果双曲函数不熟，就只好用三角代换x=tant（此处略，前面有网友这样做）

上面用到双曲函数的性质：d( sht)/dt=cht,    1+(sht)²=（cht)²，所以   √（1+x^2）=cht，所以这题用双曲正弦代换很简单

t=arcshx=ln[x+√（1+x^2）]的计算过程：

由 x=sht=[e^t-e^(-t)]/2,      得 e^t-e^(-t)=2x,     所以得（e^t）²-2x(e^t)-1=0

解关于e^t的二次方程即得   e^t=x±√（1+x^2），因为  e^t>0,  所以根号前面只能取正号

所以    e^t=x+√（1+x^2）,    所以  t=ln[x+√（1+x^2）]

所以最后得     ∫1/√（1+x^2）dx=ln[x+√（1+x^2）]+C