如图,直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴分别交于A、B两点,OA=8,OB=6.动点P从O点出发,沿路线O→B→A以每秒1个单位长度的速度运动,到达A点时运动停止.
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)求出直线AB的解析式;
(3)设点P的运动时间为t(秒),△OPA的面积为S,求S与t之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围);
(4)当S=12时,直接写出点P的坐标,此时,在坐标轴上是否存在点M,使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
网友回答
解:(1)A(8,0),B(0,6)
(2)∵直线y=kx+b过点A(8,0),B(0,6)
∴,
∴,y=-
(3)∵在Rt△AOB中,OA=8,OB=6,
∴AB=10
①当点P在OB上运动时,OP=t
S==4t
②当点P在BA上运动时,AP=6+10-t=16-t.
作PD⊥OA于点D,
∴∠PDA=∠BOA=90°,∠A=∠A
∴△APD∽△ABO,得,
即=.解得PD=.
∵AP=6+10-t=16-t,
∴PD=
∴S=OA×PD==-+
(4)①当4t=12时,t=3,P(0,3)
此时,过△AOP各顶点作对边的平行线,与坐标轴无第二个交点,所以点M不存在;
②当-+=12时,t=11,P(4,3),在坐标轴上存在点M(两个),使梯形存在,
此时M的坐标为:(0,3);(0,-6).
解析分析:(1)根据OA和OB的长度可求出A、B两点的坐标;
(2)将A、B两点的坐标代入直线方程式中即可求出直线解析式;
(3)将P点运动分为3个阶段分别写出函数关系式即可;
(4)根据(3)中求得的关系式求出P点坐标,求在不同情况下是否存在点M.
点评:本题主要考查对于一次函数的应用和对分段函数的理解掌握,此外,还应掌握梯形的性质.