已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）（1）证明f（x）在（0，+∞）上是增函

网友回答

解：（1）∵f（x?y）=f（x）+f（y），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
则＞1，
∴f（）＞0，
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（?x1）=f（x1）-f（）-f（x1）=-f（）＜0
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）令x=，y=1得，f（×1）=f（）+f（1），∴f（1）=0．
令x=3，y=得，f（1）=f（3×）=f（3）+f（），
∵f（）=-1，∴f（3）=1．
令x=y=3得，f（9）=f（3）+f（3）=2，
∴f（x）-f（）＞f（9），f（x）＞f（）
∴，
解得x＞1+．
∴x的取值范围为（1+，+∞）
解析分析：（1）由f（x?y）=f（x）+f（y），知f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），由此能求出f（1）．设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则＞1，故f（）＞0，由此导出f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（?x1）=-f（）＜0，从而能够证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）令x=，y=1，得f（1）=0．令x=3，y=，得f（3）=1．令x=y=3，得f（9）=2，故f（x）-f（）≥f（9），f（x）≥f（），由此能求出x的范围．

点评：本题考查抽象函数的性质和应用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．