如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3的内心是I1，△A2A3A4的内心是I2，△A3A4A1的内心是I3．求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆

网友回答

证明：（1）如图，连接I1A1，I1A2，I1A3，I2A2和I2A3，
∵I1是△A1A2A3的内心，
∴∠I1A1A2=∠I1A1A3=∠A2A1A3，
∠I1A2A1=∠I1A2A3=∠A1A2A3，∠I1A3A1=∠I1A3A2=∠A1A3A2，
延长A1I1交四边形A1A2A3A4外接圆于P，则
∠A2I1A3=∠A2I1P+∠PI1A3=∠I1A1A2+∠I1A2A1+∠I1A1A3+∠I1A3A1
=（∠A2A1A3+∠A1A2A3+∠A2A3A1）+∠A2A1A3=90°+∠A2A1A3，
同理∠A2I2A3=90°+∠A2A4A3，
又∵四边形A1A2A3A4内接于一圆，
∴∠A2A1A3=∠A2A4A3，
∴∠A2I1A3=∠A2I2A3，
∴A2、I1、I2、A3四点共圆；
（2）又连接I3A4，则由（1）知A3、I2、I3、A4四点共圆，
∴∠I1I2A3=180°-∠I1A2A3=180°-∠A1A2A3
同理∠I3I2A3=180°-∠I3A4A3=180°-∠A1A4A3，
∴∠I1I2I3=360°-（∠I1I2A3+∠I3I2A3）=（∠A1A2A3+∠A1A4A3）=90°．

解析分析：（1）连接I1A1，I1A2，I1A3，I2A2和I2A3，延长A1I1交四边形A1A2A3A4外接圆于P，根据内心的性质证明∠A2I1A3=90°+∠A2A1A3，∠A2I2A3=90°+∠A2A4A3，及四边形A1A2A3A4内接于一圆，可证∠A2A1A3=∠A2A4A3，故∠A2I1A3=∠A2I2A3，得出结论；
（2）连接I3A4，仿照（1）的结论证明∴∠I1I2A3=180°-∠I1A2A3=180°-∠A1A2A3，以及∠I3I2A3=180°-∠I3A4A3=180°-∠A1A4A3，由∠I1I2I3=360°-（∠I1I2A3+∠I3I2A3）证明结论．

点评：本题考查了四点共圆的判定与性质．只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的．