如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥过C点的直线于点D，且∠AOC=2∠ACD．求证：（1）CD是⊙O的切线；（2）AC2=AB?AD．

网友回答

证明：（1）如图，连接BC，
∵∠AOC=2∠B，
而∠AOC=2∠ACD，
∴∠B=∠ACD，
又∠B=∠BCO，
∴∠BCO=∠ACD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∴∠BCO+∠ACO=90°，
∴∠ACD+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）在（1）中得到∠B=∠ACD，∠ACB=90°．
∴△ACD∽△ABC，
∴，
即AC2=AB?AD．
解析分析：（1）连接BC，由∠AOC=2∠B，∠AOC=2∠ACD得到∠B=∠ACD，易得∠BCO=∠ACD，根据直角所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，则∠ACD+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，
然后根据切线的判定即可得到结论；
（2）由于∠B=∠ACD，∠ACB=90°，根据三角形相似的判定方法得到△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质得，然后转化为等积式即可．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理的推论．