为什么四边形的内角和是360度,证明四边形内角和360度 20种
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四边形内角和360°
证明：
连接四边形的1条对角线，可把四边形分成两个三角形。
因为三角形内角和180°，
所以四边形的内角和180°×2=360°。
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20种方法:
探索四边形内角和性质的二十种方法 探索四边形内角和性质的二十种方法 1．拼接法 ． 法 1.如图 1，将四边形的四个角分别剪下，可拼成一个周角，可知其内角和为 360°。 （图中：∠1=∠A,∠2=∠B,∠3=∠C,∠4=∠D） D C ∠2 ∠1 ∠3 ∠4 A B 图1 2．特殊值法 ． 法 2.如图 2，可将四边形 ABCD 特殊化为一个平行四边形，根据同旁内角互补，可知四边形 内角和为 360°。 （也可特殊化为矩形） 法 3.如图 3，将四边形 ABCD 的一个顶点 D 向内压，可将其压为一个三角形，由于三角形内 角和为 180°，∠D 为平角，等于 180°，所以四边形内角和为 360°。 D C A D C A 图2 B 图3 B 3．构造三角形 ．构造三角形 法 4.如图 4，连接 AC，可得△ACD 和△ABC，两个三角形内角和均为 180°，则四边形内角 和为 360°。 法 5.如图 5，连接 AC，再延长 AB，AD，则∠1=∠DAC+∠DCA，∠2=∠BAC+∠BCA，则四边形 内角和转化为两个平角的和，等于 360°。 法 6.如图 6，连接并延长 AC，则，∠1=∠CDA+∠CAD，∠2=∠CBA+∠CAB，则四边形内角和 转化为一个周角，等于 360°。 D C D ∠1 C D ∠1 C ∠2 A ∠2 B 图4 B A 图5 B A 图6 法 7.连接 AC、BD 相交于点 P，则四边形的内角和等于四个三角形的内角和减去以点 P 为中 心的一个周角。 法 8.如图 8，在四边形内部任取一点 P，连接 PA、PB、PC、PD，然后同法 7。 法 9.如图 9，在 AB 边上任取一点 P，连接 PC、PD，将四边形转化为三个三角形，则其内角 和为三个三角形的内角之和减去平角∠APB。 D C P A B D C P A B A P D C B 图7 图8 图9 法 10.如图 10，在四边形 ABCD 的外部任取一点 P，连接 PA、PB、PC、PD，则四边形内角和 等于△APD、△DCP、△CBP 的所有内角之和减去△APB 的内角和。 法 11.如图 11，在四边形 ABCD 的外部任取一点 P，连接 PC、PD，分别交 AB 于点 E、F，则 四边形内角和等于△AED、△DCP、△CBF 的所有内角之和减去△EFP 的内角和。 法 12.如图 12，在四边形 ABCD 的外部任取一点 P，连接 PA、PB、BD、PD，则四边形内角和 等于△APD、△DBP、△CBD 的所有内角之和减去△APB 的内角和。 D D C D C C E F A B P A P B A P B 图 10 图 11 图 12 法 13.如图 13，延长 BC，在 BC 的延长线上任取一点 P，连接 AP，PD，则∠DCB=∠PDC+∠ DPC，则四边形内角和就等于△APD 的内角和加上△PAB 的内角和。 法 14.如图 14，延长 BC、AD，相交于点 P，则四边形内角和=∠1+∠2+∠A+∠B=（∠P+∠4） +（∠P+∠3）+∠A+∠B=（∠P+∠4+∠3）+（∠P+∠A+∠B）=360° P D P C D ∠3 ∠4 ∠2 ∠1 C A A B 图 13 B 图 14 4．利用平行线 ． 法 15. 如图 15，连接 BD，作 AE 垂直 BD 交 BD 于点 E，CF 垂直 BD 交 BD 于点 F，则将四边 形内角和化为四对互余角，等于 4×90°=360° 法 16. 如图 16，作 DE 垂直 AB 交 AB 于点 E，作 CF 垂直 AB 交 AB 于点 F，则四边形内角和= （∠A+∠1）+（∠2+∠3）+（∠4+∠B）= 90°+180°+90°=360° D D ∠1 ∠2 E F A C C ∠3 ∠4 图 15 B A E 图 16 F B 法 17. 如图 17，作 BE 平行 CD 交 AD 于点 E，则四边形内角和=∠A+∠D+∠C+（∠3+∠4）= （∠A+∠3）+∠D+（∠C+∠4）=（∠2+∠D）+（∠C+∠4）=180°+180°=360° 法 18. 如图 18，作 BP 平行 AD 交 DC 延长线于点 P，则四边形内角和=∠A+∠D+∠1+∠2=∠ A+∠D+∠1+（∠P+∠4）=（∠A+∠1+∠4）+（∠D+∠P）==180°+180°=360° 法 19. 如图 19，过点 B 作 l1 平行 DC、l2 平行 AD，并延长 DC 交 l2 于点 P，则，∠1=∠A， ∠2=∠4，∠3=∠5=∠D，∠ABC 与∠1、∠2、∠3 构成的周角等于四边形内角和。 D E ∠1 ∠2 ∠4 ∠3 D C ∠2 ∠1 D C ∠3 ∠4 P C ∠4 P l2 ∠2 ∠5 A 图 17 B A 图 18 B A 图 19 ∠1 ∠3 B l1 5．方程思想 ． 法 20. 如图 20，在 DC 边上任取一点 E，AB 边上任取一点 F，连接 EF，四边形 ABCD 的内角 和=四边形 ADEF 的内角和+四边形 EFBC 的内角和—两个平角的度数。设四边形内角和为 X， 则 X=X+X-2×180°，则 X=360° D E C A F B 图 20参考资料：文库