已知关于x的一元二次方程x2+(4-m)x+1-m=0.
(1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)此方程有一个根是-3,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=x2+(4-m)x+1-m向右平移3个单位,得到一个新的抛物线,当直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时,求b的值.
网友回答
(1)证明:∵△=(4-m)2-4(1-m)
=m2-4m+12
=(m-2)2+8,
∴△>0,
∴无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)把x=-3代入x2+(4-m)x+1-m=0,
得:9+3(4-m)+1-m=0,
解得m=1,
∴y=x2+3x.
即y=(x+)2-.
依题意,可知新的抛物线的解析式为y′=(x-)2-.
即y'=x2+3x,
∵抛物线y'与直线y=x+b只有一个公共点,
∴x2-3x=x+b,
即x2-4x-b=0.
∵△=0.
∴(-4)2-4×(-b)=0.
解得:b=-4.
解析分析:(1)由△=(4-m)2-4(1-m)=(m-2)2+8,可得△>0,即可证得:无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)首先将x=-3代入原抛物线解析式,即可求得m的值,继而求得新的抛物线,又由直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点,可求得b的值.
点评:此题考查了抛物线与x轴以及与直线的交点问题.此题难度适中,注意掌握判别式的应用.