设X是一个56元集合．求最小的正整数n，使得对X的任意15个子集，只要它们中任何7个的并的元素个数都不少于n，则这15个子集中一定存在3个，它们的交非空．

网友回答

解：n的最小值为41．
首先证明n=41合乎条件．用反证法．假定存在X的15个子集，它们中任何7个的并不少于41个元素，而任何3个的交都为空集．因每个元素至多属于2个子集，不妨设每个元素恰好属于2个子集（否则在一些子集中添加一些元素，上述条件仍然成立），由抽屉原理，必有一个子集，设为A，至少含有=8个元素，又设其它14个子集为A1，A2，A14．考察不含A的任何7个子集，都对应X中的41个元素，所有不含A的7-子集组一共至少对应41C147个元素．另一方面，对于元素a，若a?A，则A1，A2，A14中有2个含有a，于是a被计算了C147-C127次；若a∈A，则A1，A2，A14中有一个含有a，于是a被计算了C147-C137次，于是
41C147≤（56-|A|）（C147-C127）+|A|（C147-C137），
=56（C147-C127）-|A|（C137-C127），
≤56（C147-C127）-8（C137-C127），
由此可得196≤195，矛盾．
其次证明n≥41．
用反证法．假定n≤40，设X=1，2，56，
令Ai={i，i+7，i+14，i+21，i+28，i+35，i+42，i+49，?i=1，2，…，7}，Bj={j，j+8，j+16，j+24，j+32，j+40，j+48，j=1，2，…，8}．
显然，|Ai|=8（i=1，2，…，7），|Ai∩Aj|=0（1≤i＜j≤7），|Bj|=7（j=1，2，…，8），
|Bi∩Bj|=0（1≤i＜j≤8），|Ai∩Bj|=1（1≤i≤7，1≤j≤8），
于是，对于其中任何3个子集，必有2个同时为Ai，或者同时为|Bj|，其交集为空集．
对其中任何7个子集Ai1，Ai2，…Ais，Bj1，Bj2，…Bjt（s+t=7），
有|Ai1∪Ai2∪…Ais∪Bj1∪Bj2∪…∪Bjt|，
=|Ai1|+|Ai2|+…+|Ais|+|Bj1|+|Bj2|+…+|Bjt|-st，
=8s+7t-st，
=8s+7（7-s）-s（7-s），
=（s-3）2+40≥40，
任何3个子集的交集为空集，所以n≥41．
综上所述，n的最小值为41．
解析分析：此题首先找出n的最小值为41，利用反证法，设出子集，构造出抽屉，证得矛盾；其次用反证法证明n≥41，利用交集与并集求得结果，两者结合完成结论．

点评：此题考查反证法，充分考虑所证命题的反面的全面性，证明过程中与抽屉原理有机结合解决问题．