在三角形ABC中,CD⊥AB,CD=3,AD=,BD=.(1)求证:△ACD∽CBD;(2)用圆规和直尺作出以AB为直径的圆O(保留作图痕迹),判断C点和圆O的位置关

发布时间:2020-08-07 10:35:24

在三角形ABC中,CD⊥AB,CD=3,AD=,BD=.
(1)求证:△ACD∽CBD;
(2)用圆规和直尺作出以AB为直径的圆O(保留作图痕迹),判断C点和圆O的位置关系,并说明理由;
(3)若E为直径AB上的一动点,连接CE交⊙O于F点,当△CBF为等腰三角形时,求AE的长.

网友回答

解:(1)∵CD⊥AB,CD=3,AD=,BD=,
∴,,
∴∠A=30°,∠ACD=60°,∠DCB=30°∠B=60°,
∴∠ACB=90°,
∵∠B=∠B,
∴△ACB∽△CBD.

(2)如图1,为所作图形,C点在⊙O上,
∵AB为⊙O的直径,
∴O点为AB的中点,
∴OA=OB,
∴∠ACB=90°,
∵OC=OA=OB,
∴C点在⊙O上.

(3)①如图2,若BC=BF,
∵△CBF为等腰三角形,
∴BC=BF,
∴,
∵直径AB,
∴,
∴∠CBA=∠FBA,
∴BE平分顶角∠CBF,
∴BE⊥CF,
∵CD⊥AB,AD=3,
∴点E与点D重合,
∴AE=AD=3,
②如图3,若FB=FC,连接OF,OC,
∵AD=3,BD=,
∴AB=4,
∴OA=OF=2,
∵∠CAB=30°,CD=3,CD⊥AB,
∴AC=6,
∵∠A=∠CFB,∠AEC=∠EFB,
∴∠ACE=∠FBE,
∵等腰三角形CFB,
∴CF=BF,
∴在△CFO和△BFO中,

∴△CFO和△BFO(SSS),
∴∠FBO=∠FCO,
∴∠ACE=∠FCO,
∵OC=OF,
∴∠FCO=∠OFC,
∴∠ACE=∠OFC,
∴OF∥AC,
∴AE:OE=AC:OF,
∵AC=6,OF=2,OA=2,
∴AE=3-3.
解析分析:(1)根据直角三角形特殊角的锐角三角函数值即可推出∠A=30°,∠ACD=60°,∠DCB=30°∠B=60°,求得∠ACB=90°后,即可求证△ACB∽△CBD;
(2)作AB的中垂线找到的中点O,然后以O点为圆形,OA为半径画圆即可;根据(1)所推出的结论∠ACB=90°,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可推出C点在⊙O上;
(3)根据点E所移动的位置分情况进行讨论,根据题意画出图形,
①如图2,若BC=BF,根据弦与所对弧的关系推出,由直径AB,即可求出,从而推出∠CBA=∠FBA,确定BE⊥CF,由CD⊥AB,即可确定点E与点D重合,即可求出AE的长度,
②如图3,若FB=FC,连接OF,OC,由已知,可推出OA=OF=2,再根据含30度角的直角三角形的性质推出AC的长度,根据三角形内角和定理推出∠ACE=∠FBE后,通过求证△CFO≌△BFO,推出对应角相等,然后由OC=OF,确定∠FCO=∠OFC,通过等量代换求出∠ACE=∠OFC后,即可求出OF∥AC,从而的比例式AE:OE=AC:OF,根据比例式的性质对比例式变形后即可推出AE=3-3.

点评:本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点,(1)小题难度不大,关键在于熟练运用特殊角的三角函数值推出相关角的度数,(2)小题关键根据直角三角形斜边上的中线的性质推出OC=OA=OB,难度不大,(3)小题难度较大,关键在于根据点E的不同位置画出图形分情况进行讨论,正确的运用相关的性质定理求证相关三角形全等,求证AC∥OF,正确的推出比例式,然后认真的计算即可.
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