如图，已知△ABC中，AB=AC=1，∠ABC=∠ACB=60°，点D是△ABC外一点，且BD=DC，∠DBC=∠DCB=30°，又点M、N分别在AB、AC上，∠MDN=60°，小明为探求△AMN的周长，在AC的延长线上截取了CP=BM，并连接DP，
（1）试说明：MN=NP；
（2）求出△AMN的周长．
网友回答
解：（1）∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在△MBD和△PCD中，
，
∴△MBD≌△PCD（SAS），
∴MD=PD，∠MDB=∠PDC，
又∵∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠BDC=120°，
∴∠MDB+∠MDC=120°，
∴∠PDC+∠MDC=120°，
即∠PDM=120°，
又∵∠MDN=60°，
∴∠PDN=60°，
∴∠MDN=∠PDN=60°，
在△MDN和△PDN中，
，
∴△MDN≌△PDN（SAS），
∴MN=NP；
（2）△AMN的周长=AM+MN+AN，
=AM+NP+AN=AM+AP，
=AM+AC+CP=AM+AC+BM，
=AB+AC=1+1=2；
∴△AMN的周长为2．
解析分析：（1）易证△MBD≌△PCD（SAS），可得MD=PD，∠MDB=∠PDC，又可得∠PDM=120°，已知∠MDN=60°，所以∠PDN=60°，即∠MDN=∠PDN=60°，所以，通过证明△MDN≌△PDN（SAS），即可得出MN=NP；
（2）由MN=NP，AP=AC+CP，BM=CP，由等量代换，可得△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+AC+BM=AB+AC=1+1=2；
点评：本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，考查了学生的综合运用能力及空间想象能力．