如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=25cm,AC=20cm,点P从点A出发,沿AB的方向匀速运动,速度为5cm/s;同时点M由点C出发,沿CA的方向匀速运动,速度为4cm/s,过点M作MN∥AB交BC于点N.设运动时间为ts(0<t<5).
(1)用含t的代数式表示线段MN的长;
(2)连接PN,是否存在某一时刻t,使S四边形AMNP=48?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)连接PM、PN,是否存在某一时刻t,使点P在线段MN的垂直平分线上?若存在,求出此时
t的值;若不存在,请说明理由.
网友回答
(1)解:∵MN∥AB,
∴=,
∴=,
∴MN=5t.
(2)解:存在,
理由是:
在△ACB中,AC=20,AB=25,由勾股定理得:BC=15,
∵MN∥AP,
∴△CMN∽△CAB,
∴==,
∴=,
CN=3t,CM=4t,
∴AM=20-4t,
由(1)中得到MN=5t,而AP=5t,可知MN=AP,
由于MN∥AP,
可知四边形AMNP是平行四边形,
S四边形AMNP=AM×CN=(20-4t)3t=48,
解得t=1或t=4
过P作PQ⊥BC于Q,
∴当t是1s或4s时,使S四边形AMNP=48,
(3)解:存在,
∵P在线段MN的垂直平分线上,
∴PN=PM,
又PN=AM,
∴PM=AM,
过M作MD⊥AB于D,
则AD=DP=,
由△AMD∽△ABC,
得,
,
解得t=.
解析分析:(1)根据平行线分线段成比例定理得出比例式,代入求出即可;(2)分别求出△ABC的面积、△CMN的面积、△BNP的面积,即可求出