请教一道高数题……若A,B均为n阶方阵,AB=O,证明,r(A)+r(B)≤n ps.大写字母是向量

网友回答

设矩阵B与AB=0右端的零矩阵的列分块分别为
B=（β1 β2 … βn）,0=（0 0 … 0）,
由分块矩阵乘法,
A（β1 β2 … βn）=（0 0 … 0）,（Aβ1 Aβ2 … Aβn）=（0 0 … 0）
即β1 β2 … βn（Ⅰ）是齐次方程组AX=0解向量组
若r（A）=n,则AX=0只有零解,B=0,r（B）=0=n-r（A）；
若r（A）=r＜n,X1,X2,…,X（n-r）（Ⅱ）是AX=0的一个基础解系,则（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出,
r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）.而r（Ⅰ）=B的列秩=r（B）,秩（Ⅱ）=n-r（A）.
综上,r(A)+r(B)≤n
得证