已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意正数x1，x2均有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．（Ⅰ）请写出一个这样的函数f（x）；（Ⅱ）若x＞1时，f（x）

网友回答

解：（Ⅰ）∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意正数x1，x2均有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），
∴f（x）=0（x＞0）就是这样的函数（也可用f（x）=log2x）．
（Ⅱ）类比对数函数提出猜想：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
证明：设0＜x1＜x2，则＞1，
∵x＞1时，f（x）＞0，
∴f（）＞0，
∴f（x2）-f（x1）=f（x1?）=f（x1）+f（）-f（x1）=f（）＞0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数（证毕）．
f（x）还具有下列性质：f（x）的图象经过（1，0）；当0＜x＜1时，y＜0．
解析分析：（Ⅰ）结果不唯一，如f（x）=0（x＞0），f（x）=log2x等．
（Ⅱ）可类比对数函数提出猜想：f（x）在（0，+∞）上是增函数，再利用定义证明即可．

点评：本题考查抽象函数及其应用，突出考查函数单调性的判断与证明，考查转化思想与运算能力，属于中档题．