反函数的导数,如何求反函数的导数

网友回答

反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
　　(这句话是对的)
　　但你的解题有点问题:
　　y=arcsinx的反函数是:
　　x=siny
　　为了知表述上的习惯性,我们一般说
　　他的道反函数是:
　　y=sinx
　　但是在求导内数的时候就不能这样了
　　应该是这样
　　y=arcsinx的导数
　　=1/(siny)'
　　=1/cosy
　　=1/根号容(1-sin^2y)
　　=1/根号(1-x^2)

网友回答

首先要保证函来数y=f（x）在包含a点的开区间I上严格单调且连续,如果这函数在a点可导并且导数f'（a）≠自0,那么反函数x=g（y）在点b=f（a）可导,且g'（b）=1/f'（a）=1/f'（知g（b））.
证明：在所给条件下,函数x=g（y）也严格单调且连续.于是,当y≠b,y→b时,有g（y）≠g（b）,g（y）→g（b）.因而：
lim[（g（y）→g（b））/（y-b）]=lim1/[（y-b）/（g（y）→g（b））]=lim1/[(f（x）-f（a）)/（x-a）]=1/f'（a）=1/f'（g（b））.
举例法：
f(x)=2x+3,f(x)的反函数为g(x)
y=2x+3
y-3=2x
2x=y-3
x=(y-3)/2=1/2y-3/2
y=1/2x-3/2
g(x)=1/2x-3/2。
f'=2,g'=1/2
g'=1/f'
这个推论是否能推广到一般，即对于任意存在道反函数的函数f(x)的导数为f(x)的导函数的倒数，
g'=1/f'。
y=f(x)。的反函数y=g(x)。
令f(x)在x=x0上右一点P(x0,y0),y0=f(x0），则P关于y=x的对称点P'(x0',y0')。x0'=y0,y0'=x0,P'(y0,x0),在反函数y=g(x)上，y0=g(x0),