已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90°.以点C为圆心,AC长为半径画弧,点D为圆弧上一点,且∠ACD=90°,过点D作直线BC的垂线DF,垂足为F.求证:AB=C

发布时间:2020-08-08 22:49:33

已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90°.以点C为圆心,AC长为半径画弧,点D为圆弧上一点,且∠ACD=90°,过点D作直线BC的垂线DF,垂足为F.求证:AB=CF.

网友回答

证明:∵在△ABC中,∠ABC=90°,
∴∠BAC+∠ACB=90°,
∵∠ACD=90°,B、C、F在同一条直线上,
∴∠ACB+∠DCF=90°,
∴∠BAC=∠DCF,
∵A、D两点都在以点C为圆心,AC长为半径的圆弧上,
∴AC=CD,
∵DF⊥BC于F,
∴∠DFC=90°,
∴∠DFC=∠ABC=90°,
在△ABC和△CFD中,,
∴△ABC≌△CFD(AAS),
∴AB=CF.
解析分析:根据直角三角形的两锐角互余以及平角等于180°列式求出∠BAC=∠DCF,再根据圆的半径相等可得AC=CD,然后利用“角边角”证明△ABC和△CFD全等,然后根据全等三角形对应边相等即可证明.

点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,根据直角三角形的性质以及平角的定义证明得到∠BAC=∠DCF是解题的关键,也是本题的难点.
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