对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-1（a≠0）．（1）当a=1，b=-

网友回答

解：（1）当a=1，b=-2时，f（x）=x2-x-3=x?x2-2x-3=0?（x-3）（x+1）=0?x=3或x=-1，
∴f（x）的不动点为x=3或x=-1．
（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点
?对任意实数b，ax2+（b+1）x+b-1=x即ax2+bx+b-1=0恒有两个不等实根
?对任意实数b，△=b2-4a（b-1）＞0恒成立
?对任意实数b，b2-4ab+4a＞0恒成立
?△′=（4a）2-4×4a＜0
?a2-a＜0
?0＜a＜1．
即a的取值范围是0＜a＜1．
解析分析：（1）将a、b代入函数，根据条件“若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点”建立方程解之即可；
（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点转化成对任意实数b，ax2+（b+1）x+b-1=x恒有两个不等实根，再利用判别式建立a、b的不等关系，最后将b看成变量，转化成关于b的恒成立问题求解即可．

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及恒成立问题的处理，属于基础题．