常用数列求和公式及其推导,等差数列求和公式推导过程

网友回答

http://hi.baidu./ggggwhw/blog/item/9acd26fb9972f916a9d3119e.html
　　请看这篇文章
　　里有详细介绍,等差,等比,很熟悉就不介绍了,这里介绍了一些新的求证方法
　　计算∑[∑[i,{i,1,j}],{j,1,n}],
　　即(1)+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n),
　　这是别人的一种算法:
　　1+(1+2)+(1+2+3)+...........+(1+2+3+........+n)
　　=[1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)]/2
　　=[1*2*3+2*3*3+3*4*3+....+n(n+1)*3]/(2*3)
　　={1*2*3+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+...+n(n+1)*[(n+2)-(n-1)]}/6
　　=[1*2*3+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/6
　　=n(n+1)(n+2)/6 .
　　下面是我的想法,如图所示,每个正方形边长为1,相当于求该图形的层数为n时的体积v[n],当层数n增加时,在三维直角坐标系下,长宽高与n成正比增加,于是体积v[n]应该是n的三次函数,
　　于是设对于任意的n有v[n]=a*n^3+b*n^2+c*n+d,
　　代入n=1,2,3,4得
　　1=a+b+c+d,
　　4=8a+4b+2c+d,
　　10=27a+9b+3c+d,
　　20=64a+16b+4c+d,
　　解得a = 1/6, b = 1/2, c = 1/3, d = 0,
　　于是
　　(1)+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n)
　　=n^3/6+n^2/2+n/3
　　=1/6 n (1 + n) (2 + n)
　　类似的办法计算:
　　1^2+2^2+3^2+...+n^2,相当于计算下面图形的体积,
　　设对于任意的n有v[n]=a*n^3+b*n^2+c*n+d,
　　代入n=1,2,3,4得
　　1=a+b+c+d,
　　5=8a+4b+2c+d,
　　14=27a+9b+3c+d,
　　30=64a+16b+4c+d,
　　解得a = 1/3, b = 1/2, c = 1/6, d = 0,
　　于是
　　1^2+2^2+3^2+...+n^2
　　=n^3/3 + n^2/2 + n/6
　　=1/6 n (1 + n) (1 + 2 n)
　　类似的办法计算:
　　1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2,相当于计算下面图形的体积,
　　设对于任意的n有v[n]=a*n^3+b*n^2+c*n+d,
　　代入n=1,2,3,4得
　　1=a+b+c+d,
　　10=8a+4b+2c+d,
　　35=27a+9b+3c+d,
　　84=64a+16b+4c+d,
　　解得a = 4/3, b = 0, c = -1/3, d = 0,
　　于是
　　1^2+3^2+5^2+...+n^2
　　=4/3*n^3 - n/3
　　=1/3 n (2 n - 1) (2 n + 1)
　　当然这样得到的结果都是正确的,但是要证明它的正确性还需要用数学归纳法,或者其它办法.

网友回答

（1+1）²=2²
　　（2+1）²=3²
　　……
　　相加之后，消去重复项得，（n+1）²=1²+2*（1+2+3+……+n）+1*n
　　1+2+3+……+n=[（n+1）²-n-1]/2=（n²+n）/2=（n+1）n/2