如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=S，△D1E1F1的面积S1=S．
（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB时如图2，
①求证：△D2E2F2是等边三角形；
②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2=______；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=______．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当Dn、En、Fn分别是等边△ABC三边上的点，ADn=BEn=CFn=AB时，（n为正整数）△DnEnFn是______三角形；
若用S表示△ADnFn的面积Sn，则Sn=______；若用S表示△DnEnFn的面积Sn′，则S′n=______．
网友回答
解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，
由已知得AD2=AB，BE2=BC，
∴AF2=AC，BD2=AB
∴AD2=BE2，AF2=BD2
△AD2F2≌△BE2D2
∴D2E2=F2D2
同理可证△AD2F2≌△CF2E2
F2D2=E2F2
∴D2E2=E2F2=F2D2
∴△D2E2F2为等边三角形；
②；
S′2=S-S×3=S
（2）由（1）可知：△DnEnFn等边三角形；
由（1）的方法可知：，S3=S，…；
S2′=S，S3′=…．
解析分析：（1）由等边三角形的性质和已知条件可证△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2，得D2E2=E2F2=F2D2所以△D2E2F2为等边三角形．
（2）（3）由等边三角形的性质和面积公式可求．
点评：本题考查了等边三角形等性质，和等边三角形等判断，以及内接等边三角形的面积规律．