如图，正方形AOBC的边长为4，反比例函数经过正方形AOBC的中心D点，E为AO边上任一点，F为OB延长线上一点，AE=BF，EF交AB于点G．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）判断CG与EF之间的数量和位置关系；
（3）P是第三象限上一动点，直线l：y=-x+2与y轴交于M点，过P作PN∥y轴交直线l于N．是否存在一点P，使得四边形OPNM为等腰梯形？若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由．
网友回答
解：（1）∵正方形的中心是它的两对角线的交点，
又∵正方形AOBC的边长为4，
∴正方形AOBC的中心D点的坐标为（2，2）．
∵D点在反比例函数的图象上，
∴k=2×2=4，
∴；
（2）CG⊥EF，CG=EF．
证明：连接CE、CF，作EH∥BF交AB于H点，
∵CA=CB，∠CAE=∠CBF，AE=BF，
∴△CAE≌△CBF，
∴CE=CF，∠ACE=∠BCF，
∴∠ECF=90°．
∵AE=EH=BF，∠EGH=∠BGF，∠HEG=∠BFG，
∴△EHG≌△FBG，
∴EG=FG．
∴CG⊥EF，CG=EF；
（3）过点M作ME⊥PN于E，
∴EM∥x轴，
设N坐标为（a，-a+2），
∴EM=-a，NE=-a+2-2=-a，
∴ME=NE，
∴∠PNM=45°，
∵四边形OPNM为等腰梯形，
∴∠PNM=∠NPO=45°．
∴设P点的坐标为（x，x），代入，
∴x=±2．
∵P是第三象限上一动点，
∴x=-2．
∴P点的坐标为（-2，-2）．
解析分析：（1）正方形AOBC的边长为4，则正方形AOBC的中心D点的坐标为（2，2），把这点的坐标代入反比例函数的解析式，就可以求出函数解析式；
（2）连接CE、CF，作EH∥BF交AB于H点，可以得到△CAE≌△CBF，因而可以证出△EHG≌△FBG，得到EG=FG则CG⊥EF，CG=EF；
（3）要让四边形OPNM为等腰梯形，必须有∠PNM=∠NPO=45°，则P点的横纵坐标相等，因而设P点的坐标为（x，x），代入，得到x的值，从而求出点P的坐标．
点评：本题考查了反比例函数的图象画法和它的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．